Ali imate možnost zadeti na loteriji

2024 Avtor: Malcolm Clapton | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 04:10

Matematika vam bo pomagala izračunati verjetnost za zmago in določiti, kaj je bolj donosno: kupite 10 srečk za eno igro ali vstopnico za 10 različnih.

V ameriški televizijski seriji "4isla" (Numb3rs) je glavni lik matematik, ki pomaga FBI-ju pri reševanju zločinov. V eni od epizod izreče stavek, da je verjetnost, da ga ubijejo na poti za srečko, večja kot verjetnost za zmago na loteriji. Na koncu članka bom podal izračun v zvezi s to izjavo, zdaj pa bi rad malo spregovoril o matematiki, ki stoji za množičnim igranjem na srečo in kako vam lahko pomaga nekoliko povečati svoje možnosti.

Pravilo 1. Ocenite tveganja

Za sodobno izobraženo osebo ni skrivnost, da igralnice in razne igralniške ustanove izračunajo vse svoje igre tako, da so vedno zmagovalec in dobiček. To se naredi zelo preprosto: oseba mora vrniti dobitek, ki je v korelaciji z njegovo stavo navzdol v primerjavi z njenimi možnostmi za zmago.

Da, tako ali drugače, tudi najbolj zapleteni matematični modeli se v povprečju združujejo na eno stvar: če stavite 1 rubelj in se vam ponudi, da dobite 1000 rubljev, je vaša možnost za zmago manjša od 1/1000.

Ni izjem, razen če vam nekdo izrecno želi dati denar. Upoštevajte to preprosto pravilo, da vedno trezno gledate na situacijo.

Teorija iger vsako strategijo ocenjuje na enak način: verjetnost zmage se pomnoži z njeno velikostjo. Grobo rečeno, matematika meni, da je pridobitev zagotovljenih 1000 rubljev enako, kot da bi dobili 2000 rubljev s 50-odstotno možnostjo. To načelo vam omogoča grobo primerjavo različnih iger med seboj. Kaj je bolje: milijon dolarjev z možnostjo 1/100.000 ali 50 dolarjev z možnostjo 1/4? Intuitivno se zdi, da je prvi stavek bolj zanimiv, matematično pa je drugi bolj donosen.

Če ostanete v okviru samo matematike, lahko izračunate: v igralnici je nemogoče zmagati, ker vsaka izbrana strategija vodi v dejstvo, da je zmnožek verjetnosti zmage glede na velikost izplačila za igralca vedno nižje od stave, ki jo je že dal.

Vendar ljudje igrajo, ker dobiček zanje ni le denar, ampak tudi čustva iz procesa – še bolj pa od zmage.

In tudi zato, ker je denar za nas nelinearen: formalno pridobiti 1 rubelj zdaj je kot dobiti milijon rubljev z možnostjo 1 / 1.000.000, v resnici pa izguba rublja nikakor ne bo vplivala na naše stanje, nič se ne bo spremenilo v življenju, a pridobiti milijon je zelo resen dogodek.

Pravilo 2. Igrajte na prostem

Žal ne moremo prodreti v notranjo kuhinjo loterije. Vendar je koristno razumeti vsaj formalni postopek, kako natančno poteka žreb.

Na primer, znani igralni avtomati "One-armed Bandit" in drugi igralni avtomati so pravzaprav malo zvijača: na kolesu so narisani simboli različnih vrednosti, ki jih igralec vidi, a hkrati je vse urejeno tako da igralec misli, da so možnosti, da vsak simbol izpade, enake. Pravzaprav (v starih strojih - mehansko, pri sodobnih - s pomočjo programa) se za vsakim vidnim kolesom skriva sedanjost, na kateri so dragoceni simboli redki, poceni pa pogosto.

Možnosti, da dobite 777 na igralnem avtomatu, so manjše od verjetnosti, da dobite katere koli tri češnje, razlika pa je lahko desetkratna.

"Odprte" loterije so v tem smislu veliko bolj poštene. V Združenih državah Amerike je format zelo razširjen, ko vstopnica vsebuje zaporedje številk ali pa jo izbere kupec sam. V Rusiji je na primer prednostna oblika loto: na listku je več vrstic številk in morate zapreti eno od njih (navaden dobitek) ali vse (jackpot). V teoriji lahko loterijska družba »posebno« natisne in proda ne-dobitne listke in nato manipulira z vrstnim redom kroglic, v praksi pa velika podjetja tega ne počnejo: organizatorji loterije vedno zmagajo in škandal v primeru razkritja slabega vera bo ogromna.

Če nameravate igrati na srečo, bo koristno razumeti njegovo mehaniko in se prepričati, da na rezultate ni vpliva zainteresiranih strani.

Pravilo 3. Spoznajte svoje možnosti

Verjetnost jackpota v kateri koli loteriji se praviloma šteje za eno formulo. Toda izračun verjetnosti, da na primer zaprete vsaj eno vrstico v lotu, je zelo netrivialen in bi vzel cel članek ali morda več kot enega. Zato je pravzaprav možnost, da dobite nekaj denarja na loteriji, večja zaradi dejstva, da ima večina loterij poleg glavne še dodatne nagrade. Vendar se bom zaradi lažjega ocenjevanja osredotočil na jackpot.

Recimo, da smo kupili srečko z naključnim nizom številk. Med žrebanjem se izžreba enako število žogic in če številke na njih sovpadajo s številkami na listki (v poljubnem vrstnem redu je to pomembno!), potem smo zmagali. Verjetnost takšne zmage se izračuna na naslednji način:

Verjetnost zmage = 1 ÷ Število kombinacij žogic.

Število kombinacij brez upoštevanja vrstnega reda se v matematiki imenuje število kombinacij, in če poznate in razumete formulo za izračun, potem se iz tega članka najverjetneje ne boste naučili ničesar novega. Če niste matematik, boste lažje uporabljali spletno storitev, kot je ta. Takšne storitve (in formula, na kateri temelji njihovo delovanje) ponujajo dve številki:

• n je skupno število možnih možnosti za en element. V našem primeru je predmet žogica, kroglic pa je toliko, kolikor je številk v loteriji, več o tem spodaj.
• k je število elementov v enem vzorcu. V našem primeru - koliko žogic izžreba loterija in koliko številk je v listku (predpostavlja se, da so te vrednosti enake).

Torej, če imamo loterijo s 5 izžrebanimi žogicami in je v loteriji s številkami od 1 do 50 skupaj 50 žogic, bo verjetnost za zmago v njej enaka eni številu kombinacij za k = 5 in n = 50, to je:

1 ÷ 2 118 760 = 0, 00005%.

Poglejmo bolj zapleten primer - priljubljeno ameriško loterijo PowerBall, pri kateri je vrednost jackpota presegla milijardo dolarjev. V skladu s pravili obstaja osnovni vzorec 5 številk (od 1 do 69), pa tudi ena dodatna številka (od 1 do 26). Za zmago morate izenačiti vseh 6 številk.

Preprosto je razumeti, da je možnost, da dobimo prvi niz, enaka eni številu kombinacij za k = 5 in n = 69 (to je 11 238 513), možnost, da "ujamemo" zadnjo žogico, pa je 1 proti 26. Da bi dobili vse naenkrat, je treba te možnosti pomnožiti, ker se morajo dogodki zgoditi istočasno:

(1 ÷ 11 238 513) × (1 ÷ 26) = 1 ÷ 292 201 338 = 0, 0000003%.

Z drugimi besedami, če 300 milijonov ljudi kupi vstopnice, bo zmagal le eden. To kaže, zakaj se jackpot pogosto sploh ne osvoji: organizatorji loterije preprosto ne natisnejo toliko listkov, da bi ujeli zmagovalnega.

Pravilo 4. Začnite pravočasno

Mimogrede, loterija PowerBall stane 2 $. Za izračun ugodnosti, s katero bi se izplačal nakup vozovnice, morate ceno vstopnice pomnožiti z 292 201 338.

Več o izračunih. To je sklicevanje na prvo točko, ki pravi, da je korist rešitve enaka njeni vrednosti, pomnoženi z verjetnostjo. Če imamo dogodek z verjetnostjo 1/X in vrednostjo N, bo korist N/X. Porabimo 2 $ in lahko izračunamo, koliko bi se dobitek izplačal z nakupom vstopnice:

• 2 = N ÷ X.
• N = 2 × X in X je tukaj ravno enak 292 201 338, kot kažejo izračuni iz prejšnjega dela

Upoštevati morate tudi davke (ugotovite, kolikšen odstotek deklariranega zneska bo dejansko pripadel zmagovalcu, običajno približno 70%). To pomeni, da mora biti jackpot vsaj 850 milijonov dolarjev in to se zgodi v tej loteriji. Kako to, sem že na začetku rekel, da dobiček s takšnim množenjem vedno ni v prid igralcu?

Dejstvo je, da če žrebanja jackpota ni bilo, se ta preide na naslednjič, zato se denar nabira nekaj časa, prodaja vstopnic pa se nadaljuje.

V idealni situaciji bi morali preskočiti vse igre brez nakupa vstopnice in nato kupiti točno tisto igro, v kateri bo žreb dejansko potekal.

A tega je nemogoče vedeti vnaprej. Z nakupom vstopnic pa lahko začnete takoj, ko je jackpot večji od omenjenega zneska. V takšni situaciji bo matematično igra koristna.

Lahko tudi razumete, kaj je bolj donosno: kupiti veliko vstopnic za eno igro ali kupiti eno vstopnico za več iger? Razmislimo o tem.

V teoriji verjetnosti obstaja koncept nepovezanih dogodkov. To pomeni, da izid enega dogodka na noben način ne vpliva na izid drugega. Če na primer vržete dve kocki, potem padajoče številke na njih niso povezane med seboj: z vidika naključnosti ena kocka ne vpliva na obnašanje druge. Če pa iz krova potegnete dve karti, so ti dogodki povezani, saj prva karta določa, katere karte ostanejo v krovu.

Priljubljena napačna predstava o tem se imenuje napaka igralca. Izhaja iz človekove intuitivne ideje o povezanosti nepovezanih dogodkov.

Na primer, če se kovanec dvigne z glavo večkrat zapored, potem ponavadi verjamemo, da se bodo možnosti, da bi zaradi tega dobili glave, povečale, vendar v resnici temu ni tako, možnosti so vedno enake.

Vrnitev k loterijam: različne igre so nepovezani dogodki, ker je zaporedje žogic ponovno izbrano. Tako možnosti za zmago na kateri koli loteriji niso odvisne od tega, kolikokrat ste jo že igrali. Intuitivno je to zelo težko sprejeti, saj človek vsakič, ko kupi vstopnico, pomisli: "No, zdaj pa boš imel srečo, saj sem igral veliko časa!" Ampak ne, teorija verjetnosti je brezsrčna stvar.

Toda nakup več vstopnic za eno igro sorazmerno poveča vaše možnosti, saj so vstopnice znotraj ene igre povezane: če ena zmaga, potem druga (z drugačno kombinacijo) zagotovo ne bo zmagala. Nakup 10 vstopnic poveča možnosti 10-krat, če so vse kombinacije na vstopnicah različne (pravzaprav je skoraj vedno tako). Z drugimi besedami, če imate denar za 10 vstopnic, je bolje, da ga kupite za eno igro, kot da ga kupite z vstopnico za 10 iger.

Po vaših pojasnilih v komentarjih je pošteno reči, da je verjetnost zmage vsaj ene igre v nizu N iger višja od verjetnosti zmage v kateri koli posamezni igri. Je pa še vedno nekoliko manjša od možnosti za zmago z nakupom N vstopnic za eno igro, vendar je razlika precej majhna.

Če zaradi iger na srečo enkrat mesečno vzamete vstopnico iz svoje plače, potem vam je najverjetneje pomemben sam proces igre. Matematično je ta denar bolj donosno privarčevati in ob koncu leta kupiti 12 vstopnic naenkrat, čeprav bo seveda izguba v takšni situaciji zaznana bolj grozljivo.

Pravilo 5. Ustavite se pravočasno

In na koncu želim povedati, da je tudi verjetnost 1/100 z vidika posameznika zelo majhna. Če to verjetnost preverite enkrat mesečno, boste v 8 letih opravili 100 takih pregledov. Predstavljajte si, kolikokrat je verjetnost 1/1.000.000 ali 1/100.000.000 manjša? Zato vedno stavite le znesek, ki se ga ne bojite popolnoma izgubiti, in ne rubelj več.

Za zaključek bom, kot sem obljubil, podal oceno izjave z začetka članka. Ti podatki so za ZDA, ker je bila izjava oblikovana posebej za to državo, poleg tega smo zgoraj že izračunali kvote za ameriško loterijo.

Po statističnih podatkih je bilo v Združenih državah leta 2016 v ZDA storjenih približno 17.000 umorov, to bomo šteli za povprečno številko. Predpostavimo tudi, da je oseba potencialna tarča za umor, ko je že odrasel, vendar ne star - torej približno 50 let v svojem življenju. To pomeni, da bo v teh 50 letih storjenih okoli 850.000 umorov. Prebivalstvo Združenih držav je 325,7 milijona prebivalcev Združenih držav, zato so možnosti, da se vključijo v naključni vzorec 850.000, naslednje:

850 000 ÷ 325 700 000 = 1 ÷ 383 = 0, 3%.

Toda počakajte, to je samo priložnost, da vas ubijejo. Namreč na poti do srečke? Recimo, da greste od doma v službo vsak delovnik, greste ven en vikend in ostanete doma naslednji. Povprečje je 6 dni na teden ali približno 26 dni na mesec. In enkrat na mesec kupite srečko. Zato je treba dobljene številke deliti tudi s 26:

(1 ÷ 383) ÷ 26 = 1 ÷ 9 958 = 0, 01%.

In tudi ob tako grobi oceni je to bistveno bolj verjetno kot zmaga. Natančneje, 30.000-krat večja verjetnost. Dejansko bodo številke seveda drugačne: človek ni ogrožen le na ulici, nekateri ljudje tvegajo več kot drugi, ženske so ubite skoraj štirikrat manj kot moški. Toda načelo je naslednje.

Čeprav živeti brez vere v dobre dogodke in z nenehnim pričakovanjem slabih, tudi poznavanje matematike ni najboljša izbira.