Problem srednjeveškega matematika Leonarda Fibonaccija o zajcih

2024 Avtor: Malcolm Clapton | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 04:10

Izračunajte, kakšne potomce bo par živali dal do začetka naslednjega leta.

Leonardo Fibonacci je bil izjemen srednjeveški matematik. Menijo, da je prav on uvedel arabske številke v uporabo. V The Book of the Abacus, delu, ki razlaga in spodbuja decimalno aritmetiko, Fibonacci poda svoj slavni problem o zajcih. Poskusite ga rešiti.

V začetku januarja je bil par novorojenih kunčkov (samec in samica) postavljen v ogrado, ograjeno z vseh strani. Koliko parov kuncev bodo pridelali do začetka prihodnjega leta? Upoštevati je treba naslednje pogoje:

Kunci dosežejo spolno zrelost dva meseca po rojstvu, torej do začetka tretjega meseca življenja.
Na začetku vsakega meseca vsak spolno zrel par rodi le en par.
Živali se vedno rodijo v parih "ena samica + en samec".
Zajci so nesmrtni, plenilci jih ne morejo jesti.

Poglejmo, kako raste število kuncev v prvih šestih mesecih:

1. mesec. En par mladih kuncev.

2. mesec. Še vedno je en originalni par. Kunci še niso dosegli rodni dobi.

3. mesec. Dva para: prvotni, ki je dosegel rodni dobi + par mladih kuncev, ki jih je skotila.

4. mesec. Trije pari: en originalni par + en par kuncev, ki jih je skotila na začetku meseca + en par kuncev, ki so se skotili v tretjem mesecu, a še niso dosegli pubertete.

5. mesec. Pet parov: en izvirni par + en par, rojen v tretjem mesecu in v rodni dobi + dva nova para, ki sta ju rodila + en par, ki je bil rojen v četrtem mesecu, vendar še ni dosegel zrelosti.

6. mesec. Osem parov: pet parov iz prejšnjega meseca + trije novorojenčki. itd.

Da bo bolj jasno, prejete podatke zapišemo v tabelo:

Matematični problem Leonarda Fibonaccija o zajcih: rešitev

Če natančno preučite tabelo, lahko ugotovite naslednji vzorec. Vsakič, ko je število prisotnih kuncev v n-em mesecu enako številu kuncev v (n - 1)-tem prejšnjem mesecu, sešteto s številom novorojenih kuncev. Njihovo število pa je enako skupnemu številu živali od (n - 2) meseca (kar je bilo pred dvema mesecema). Od tu lahko izpeljete formulo:

F = F_{n - 1}+ F_{n - 2}, kjer je F - skupno število parov kuncev v n-em mesecu, F_{n - 1} je skupno število parov kuncev v prejšnjem mesecu, F_{n - 2} - skupno število parov kuncev pred dvema mesecema.

Preštejmo število živali v naslednjih mesecih, ki ga uporabljajo:

7. mesec. 8 + 5 = 13.

8. mesec. 13 + 8 = 21.

9. mesec. 21 + 13 = 34.

10. mesec. 34 +21 = 55.

11. mesec. 55 + 34 = 89.

12. mesec. 89 + 55 = 144.

13. mesec (začetek naslednjega leta). 144 + 89 = 233.

V začetku 13. meseca, torej ob koncu leta, bomo imeli 233 parov kuncev. Od tega jih bo 144 odraslih in 89 mladih. Nastalo zaporedje 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 se imenuje Fibonaccijeva števila. V njej je vsako novo končno število enako vsoti dveh prejšnjih.

Pokaži odgovor Skrij odgovor