Gola statistika je najbolj zanimiva knjiga o najbolj dolgočasni znanosti

2024 Avtor: Malcolm Clapton | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 04:10

Kdo je rekel, da je statistika dolgočasna in neuporabna znanost? Charles Wheelan prepričljivo trdi, da to še zdaleč ni tako. Danes objavljamo odlomek iz njegove knjige o tem, kako s statistiko osvojiti avto in ne kozo in razumeti, da vas intuicija lahko zavede.

Uganka Monty Halla

Skrivnost Monty Halla je znana težava v teoriji verjetnosti, ki je zbegala udeležence igralne oddaje Let’s Make a Deal, ki je še vedno priljubljena v več državah, ki je bila premierno predstavljena v Združenih državah leta 1963. (Spominjam se vsakič, ko sem v otroštvu gledal to oddajo, ko zaradi bolezni nisem hodil v šolo.) Že v uvodu knjige sem poudaril, da je ta oddaja lahko zanimiva za statistike. Na koncu vsake od svojih številk je udeleženec, ki je prišel v finale, stal z Monty Hallom pred tremi velikimi vrati: Vrata št. 1, Vrata št. 2 in Vrata št. 3. Monty Hall je finalistu pojasnil, da je za eno teh vrat je bila zelo dragocena nagrada - na primer nov avto in koza za ostalima dvema. Finalist je moral izbrati ena od vrat in dobiti tisto, kar je za njimi. (Ne vem, ali je bila med udeleženci oddaje vsaj ena oseba, ki je želela dobiti kozo, a zaradi preprostosti predvidevamo, da je velika večina udeležencev sanjala o novem avtomobilu.)

Začetno verjetnost za zmago je dokaj enostavno določiti. Tri vrata so, dva skrivata kozo, tretja pa avto. Ko udeleženec šova z Montyjem Hallom stoji pred temi vrati, ima eno od treh možnosti, da izbere vrata, za katerimi je avto. Toda, kot je bilo omenjeno zgoraj, je v Let's Make a Deal nekaj ulov, ki je ovekovečil ta televizijski program in njegovega voditelja v literaturi o teoriji verjetnosti. Potem ko finalist šova pokaže na eno od treh vrat, Monty Hall odpre ena od dveh preostalih vrat, za katerimi je vedno koza. Nato Monty Hall vpraša finalista, ali si želi premisliti, torej opustiti prej izbrana zaprta vrata v korist drugih zaprtih vrat.

Recimo za primer, da je udeleženec pokazal na Vrata # 1. Nato je Monty Hall odprl vrata # 3, za katerimi se je skrivala koza. Dve vrata, vrata # 1 in vrata # 2, ostanejo zaprti. Če bi bila dragocena nagrada za vrati št. 1, bi jo finalist dobil, če bi bila za vrati št. 2, bi izgubil. Na tej točki Monty Hall vpraša igralca, ali želi spremeniti svojo prvotno izbiro (v tem primeru opusti Vrata # 1 v korist Vrata # 2). Seveda se boste spomnili, da sta obe vrata še vedno zaprti. Edina nova informacija, ki jo je udeleženec prejel, je bila, da je koza končala za enim od dveh vrat, ki ju ni izbral.

Ali naj finalist opusti prvotno izbiro v korist Vrata # 2?

Odgovorim: da, moralo bi. Če se drži prvotne izbire, bo verjetnost, da dobi dragoceno nagrado, ⅓; če si premisli in pokaže na vrata št. 2, bo verjetnost, da dobi dragoceno nagrado, ⅔. Če mi ne verjamete, berite naprej.

Priznam, da ta odgovor na prvi pogled še zdaleč ni očiten. Zdi se, da ne glede na to, katera od preostalih dveh vrat izbere finalist, je verjetnost, da prejme dragoceno nagrado v obeh primerih ⅓. Obstajajo tri zaprta vrata. Sprva je verjetnost, da se za katerim koli od njih skriva dragocena nagrada, ⅓. Ali odločitev finalista, da spremeni svojo izbiro v korist drugih zaprtih vrat, kaj vpliva?

Seveda, saj je kvaka v tem, da Monty Hall ve, kaj je za vsakimi vrati. Če finalist izbere Vrata # 1 in je za njimi res avto, lahko Monty Hall odpre vrata # 2 ali vrata # 3 in razkrije kozo, ki se skriva za njimi.

Če finalist izbere vrata 1 in je avto za vrati 2, bo Monty Hall odprl vrata 3.

Če finalist pokaže na vrata 1 in je avto za vrati 3, bo Monty Hall odprl vrata 2.

Če si premisli, potem ko voditelj odpre ena od vrat, dobi finalist prednost, da izbere dve vrata namesto enih. V pravilnost te analize vas bom poskušal prepričati na tri različne načine.

Prva je empirična. Leta 2008 je kolumnist New York Timesa John Tyerney pisal o fenomenu Monty Hall. Po tem je osebje publikacije razvilo interaktivni program, ki vam omogoča, da igrate to igro in se samostojno odločite, ali boste spremenili svojo prvotno izbiro ali ne. (Program predvideva celo kozličke in avtomobilčke, ki se pojavijo izza vrat.) Program beleži vaš dobitek, če spremenite prvotno izbiro in v primeru, ko niste prepričani. Eni od svojih hčera sem plačal, da je igrala to igro 100-krat in vsakič spremenila njeno prvotno izbiro. Tudi njenemu bratu sem plačal, da je igral igro 100-krat, pri čemer je vsakič obdržal prvotno odločitev. Hčerka je zmagala 72-krat; njen brat 33-krat. Vsak trud je bil nagrajen z dvema dolarjema.

Dokazi iz epizod igre Let’s Make a Deal kažejo isti vzorec. Po besedah Leonarda Mlodinova, avtorja The Drunkard's Walk, so imeli tisti finalisti, ki so spremenili prvotno izbiro, približno dvakrat večjo verjetnost za zmago kot tisti, ki niso bili prepričani.

Moja druga razlaga tega pojava temelji na intuiciji. Recimo, da so se pravila igre nekoliko spremenila. Na primer, finalist začne z izbiro ene od treh vrat: Vrata # 1, Vrata # 2 in Vrata # 3, kot je bilo prvotno načrtovano. Toda potem, preden odpre katera od vrat, za katerimi se skriva koza, Monty Hall vpraša: "Ali se strinjate, da se boste odrekli svoji izbiri v zameno za odpiranje dveh preostalih vrat?" Torej, če ste izbrali Vrata # 1, si lahko premislite v prid Vrata # 2 in Vrata # 3. Če ste najprej pokazali na Vrata # 3, lahko izberete Vrata # 1 in Vrata # 2. In tako naprej.

To za vas ne bi bila posebej težka odločitev: povsem očitno je, da bi morali opustiti prvotno izbiro v korist dveh preostalih vrat, saj s tem povečate možnosti za zmago z ⅓ na ⅔. Najbolj zanimivo je, da vam to v bistvu ponuja Monty Hall v pravi igri, potem ko odprete vrata, za katerimi se skriva koza. Temeljno dejstvo je, da če bi imeli možnost izbire dveh vrat, bi se za enim od njih tako ali tako skrivala koza. Ko Monty Hall odpre vrata, za katerimi je koza, in vas šele nato vpraša, ali se strinjate s spremembo začetne izbire, to občutno poveča vaše možnosti za osvojitev dragocene nagrade! V bistvu vam Monty Hall pravi: "Možnosti, da se dragocena nagrada skrije za enim od dveh vrat, ki ju niste izbrali prvič, je ⅔, kar je še vedno več kot ⅓!"

Lahko si predstavljate takole. Recimo, da ste pokazal na Vrata # 1. Po tem vam Monty Hall daje možnost, da opustite prvotno odločitev v korist Vrata # 2 in Vrata # 3. Strinjate se in imate na voljo dvoja vrata, kar pomeni, da imate vsak razlog pričakuje, da boste osvojili dragoceno nagrado z verjetnostjo ⅔, ne ⅓. Kaj bi se zgodilo, če bi v tem trenutku Monty Hall odprl vrata 3 – ena od »vaših« vrat – in bi bila za njimi koza? Bi to dejstvo omajalo vaše zaupanje v vašo odločitev? Seveda ne. Če bi se avto skrival za vrati 3, bi Monty Hall odprl vrata 2! Ničesar ti ne bi pokazal.

Ko se igra igra po scenariju knock-offa, vam Monty Hall resnično omogoča izbiro med vrati, ki ste jih določili na začetku, in dvema preostalima vratoma, od katerih bi lahko bila ena avtomobil. Ko Monty Hall odpre vrata, za katerimi se skriva koza, vam preprosto naredi uslugo s tem, da vam pokaže, katera od drugih dveh vrat niso avto. V obeh naslednjih scenarijih imate enake možnosti za zmago.

1. Izbira Vrata # 1, nato pa se strinjate, da "preklopite" na Vrata # 2 in Vrata # 3, še preden se katera koli vrata odprejo.
2. Če izberete Vrata # 1, nato pa se strinjate, da "preklopite" na Vrata # 2, potem ko vam Monty Hall pokaže kozo za vrati # 3 (ali izberete Vrata # 3, potem ko vam Monty Hall pokaže kozo za vrati # 2).

V obeh primerih vam opustitev prvotne odločitve daje prednost dveh vrat pred enim in tako lahko podvojite svoje možnosti za zmago z ⅓ na ⅔.

Moja tretja možnost je bolj radikalna različica iste osnovne intuicije. Recimo, da vas Monty Hall prosi, da izberete eno od 100 vrat (namesto enega od treh). Ko to storite, recimo tako, da pokažete na vrata # 47, odpre 98 preostalih vrat, ki bodo razkrila koze. Zdaj ostajajo zaprta le še dve vrata: vaša vrata št. 47 in druga, na primer vrata št. 61. Bi se morali odreči svoji prvotni izbiri?

Seveda ja! Obstaja 99-odstotna možnost, da je avto za enimi od vrat, ki jih sprva niste izbrali. Monty Hall vam je storil vljudnost in odprl 98 teh vrat, za njimi ni bilo nobenega avtomobila. Tako obstaja le 1 od 100 možnosti, da bo vaša začetna izbira (vrata # 47) pravilna. Hkrati obstaja 99 od 100 možnosti, da je bila vaša prvotna izbira napačna. Če je tako, potem se avto nahaja za preostalimi vrati, to je vrata št. 61. Če želite igrati z verjetnostjo zmage 99-krat od 100, potem bi morali "preklopiti" na vrata št. 61.

Skratka, če boste morali kdaj igrati Let’s Make a Deal, boste zagotovo morali opustiti svojo prvotno odločitev, ko vam bo Monty Hall (ali kdorkoli, ki ga bo zamenjal) dal izbiro. Bolj univerzalen zaključek iz tega primera je, da vas lahko vaša intuitivna ugibanja o verjetnosti določenih dogodkov včasih zavedejo.